Matematicas IV

TAREAS UNIDAD V

2008-12-04T19:37:00.001-08:00

TAREAS UNIDAD IV

2008-11-20T19:02:00.000-08:00

TAREAS UNIDAD III

2008-10-19T18:43:00.000-07:00

TAREA 2.- Problemas para resolver con sistemas de ecuaciones lineales

2008-09-24T23:54:00.000-07:00

1.- Las dimensiones de un prisma rectangular satisfacen las siguientes propiedades:

3 veces eel ancho menos el largo menos la altura es= 1;

2 veces la altura es =1 mas el doble de largo + el ancho;
El perimetro de de la base es igual a 3 veces la altura -4

\Cual es el volumen del prisma?
ancho = X1, largo= X2, alto= x3

3X1 - X2 - X3 = -1
-X1 -2X2 +2X3 = 1
-2X1 -2X2 +3X3 = 4

R1/3
_________________________

X1 -1/3 X2 -1/3 X3 = -1/3
-X1 - 2X2 + 2X3 = 1
-2X1 - 2X2 + 3X3 = 4
R2 + R1
R3 +2R1
_________________________

X1 -1/3 X2 -1/3 X3 = -1/3
-7/3X2 + 5/3X3 = 2/3
-7/3X2 + 8/3X3 = 11/3

R2(-3/7)
R3-R2
__________________________

X1 -1/3 X2 -1/3 X3 = -1/3
X2 - 5/7X3 = -2/7
+ X3 = 3

X2= -2/7+15/7 X2=13/7

X1= -1/3 +13/21+1 X1=27/21

Volumen del prisma=X1(X2)(X3)
V=(27/21)(13/7)(3)

V= 7.16 unidades cubicas

2.- Los pagos mensuales correspondientes a colegiaturas, dentistas, natacion, satisfacen en que la suma de los 3 pagos asciende a $1450.-. El pago del dentista más el de la natación es de $555.-. El pago de la colegiatura + el del dentista alcanza $1,155.

/Cual es el pago mensual correspondiente a cada uno de los conceptos?

colegiatura X1 , dentista X2, natacion X3

X1 + X2+ X3 = 1450
X2 + X3 = 555
X1 + X2 = 1155

X1 + X2 +X3 = 1,450
- X2 - X3 -555
X3 = 295

-X2 - 295= -555
-295 + 555 = X2
260 = X2

X1 + 260 + 295 = 1,450
X1 = 1,450 - 260 - 295
X1 = 895

3. Dos recipientes contienen aceite uno de maiz, y otro de girasol, mezclando, el contenido del 60% de de maiz y el 80% del contenido de girasol se tienen 288 L. de mezcla. Si se mexcla el 30% del de maiz y el 20% girasol se obtienen 108 L. de la mezcla. Cual es el contenido en L de c/u de los recipientes.

X1 = Maiz, X2 = Girasol

60X2 + 80X1 = 288
30X2 + 20X1 = 108
__________________

40X1= 72 X1= 72/40 X1=1.8
30X2 + 20X1= 108

30X2 + 20(1.8) = 108
30X2 + 36 = 108 X2=( 108 - 36)/30 X2 = 2.4

4.- La mitad de la suma de las densidades del acero, el Sn, y el Fe fundido es igual a 11.0. El doble de la densidad del acero menos la del Sn + la del Fe es igual a 15.54. La densidad del acero, menos la del Sn, menos la del Fe =- 6.88.

/Cual es la densidad de c/u de los materiales?

X1= Acero, X2 =Sn, X3= Fe

1/2X1 + 1/2X2 + 1/2X3 = 11
2X1 - X2 + X3= 15.54
X1 - X2 - X3= -6.68
r1(2)
___________________________

X1 + X2 + X3 = 22
2X1 - X2 + X3 =15. 54
X1 - X2 - X3 = -6.68
___________________________
-2(R3) + R2

X1 + X2 + X3 = 22
+ X2 + X3 = 2.18
X1 - X2 - X3 =- 6.68

-R1+R3
_______________________________

X1 + X2 + X3 = 22
+ X2 + 3X3 = 2.18
- X2 - X3 =- 28.68

2R2 + R3
__________________________________

X1 + X2 + X3 = 22
+ X2 +3X3 = 2.18
4X3 =- 24.32

R3/4
___________________________________
X1 + X2 + X3 = 22
+ X2 +3X3 = 2.18
X3 =- 6.08

X2= 2.18-3(-6.08)
X2=20.42

X1 + 20.42 - 6.08 =22
X1= 22 - 20.42 + 6.08
X1= 7.66

TAREA 1. EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2008-09-24T23:41:00.000-07:00

EJERCICICOS DE ECUQACIONES LINEALES

1.- 2x - y + 3z = 1

2x + 4z= 2

4x + y + 8z =3

_______________
r2(-2) + r3

2x - y + 3z= 1
2x + 4z=2
y =-1
_______________ 2x + 4z = 2
-r2 + r1
x= ( 2- 8)/2
-y - z= -1
2x +4z= 2 x=-3
y =-1
______________
-(-1) -z= -1
1 +1= z
2= z
Ecuacion consistente con solucion
______________________________________________________________

2.- 5x - y + 7z= 4

-20x +4y -28z= -12
_______________
r2/4

5x - y + 7z= 4
-5x +y - 7z =3
0=3

Ecuacion inconsistente sin solución
___________________________________________________________________

3.- 2x - 3y + 4z = 0

x + y + 3z = 0

8x - 7y + 18z = 0
r(-2) + r1
________________
- 5y +4z =0
x + y + 3z =0
8x -7y + 18z=0

Ecuacion inconsistente
______________________________________________________________

4.- 5x - y+ 7z = 0

-20x + 4y - 28z =0

r2/4 -r1

5x - y + 7z = 0
-5x +y -7z=0
_______________
0=0

Ecuación inconsistente
______________________________________________________________

5.- 3x - 5y = 6

2x + 4y = -4

13x - 29y= 34

tomar dos ecuaciones
3x - 5y = 6
2x + 4y =-4

x= (-4 - 4y)\2

3 ( (-4 -4y)/2) -5y=6
-6 -6y -5y = 6 -11y=12 y=-11/12 y=-1.09

2x + 4(-11/12) =-4
x=(-4 + 3.66)/2
x= - 0.18

Sistema de ecuaciones lineales

2008-09-15T15:15:00.000-07:00

Sistema de ecuaciones lineales

ECUACIONES LINEALES

Una recta en el plano xy puede representarse algebraicamente por una ecuacion de la forma

a1x+a2y=b

Una ecuación de este tipo se denomina ecuación lineal en las variables x y y. De manera más general, una ecuación lineal en las n variables x1, x2,. . . . , xn se define como una ecuación que se puede expresar en la forma

a1x1+a2x2+...+anxn=b

donde a1, a2, . . . ., an y b son constantes reales. Las variables en una ecuación lienal algunas veces se denominan incógnitas.

Ejemplo 1 Las ecuaciones siguientes son lineales:

x+3y=7 x1 - x2-3x3 +x4=7

y= 1/2x+3z+1 x1+x2+. . . + xn=1

Observar que una ecuación lienal no incluye ningún producto o raíz de variables. Todas las variables están elevadas sólo a la primera potencia y no aparecen como argumentos de funciones trigonómetricas, logaritmicas o exponenciales. Las siguientes ecuaciones no son lieneales:

x + 3ye2=7 3x + 2y -z +xz=4

y - senx= 0 x1e1/2+2x2+x3=1

Una solución de una ecuación lineal a1x1+a2x2+ . . . , +anxn=b es una sucesión de n numeros s1, s2, . . . . sn de modo que la ecuación se cumple cuando se sustituye x1=s1, x2=s2, .. . . . , xn= sn. El conjunto de todas las soluciones de la ecuacion se denomina conjunto solución o, algunas veces, solución general de la ecuación.

EJEMPLO 2 Encontrar el conjunto de solución de

(a) 4x-2y=1 (b) x1-4x2+7x3=5

Solució a). Para ncontrar soluciones de a), se asigna un valor cualesquiera a ), se asigna un valor cualesquiera a x y se despeja y, o bien, se elige un valor arbitrario para y y se despeja x. Si se sigue el primer metodo y a x se asigna un valor arbitrario t, se obtiene.

x= t, y= 2t-1/2

Estas expresiones describen el conjunto solución en términos de algún parámetro t. Las soluciones numéricas particulares se pueden obtener al sustituir valores específicos de t. Por ejemplo, t=3 conduce a la solución x=3, y=11/2, y t=-1/2 producela solución x=-1/2,

y=-3/2.

Si se sigue el segundo método y a y se asignan el valor arbitrario t, se obtiene

x=1/2t +1/4, y=t

Aunque estas expresiones son diferentes a las que se obtuvieron antes, producen el mismo conjunto solución cuando t asume que toros los numeros reales posibles. Por ejemplo, con las expresiones anterioresso obtuvo la solución x=3, y=11/2 , cuando t=3, mientras que con las expresiones posteriores se obtuvo esa solución cuando t=11/2.

Solución b). Para encontrar el conjunto solución de b) es posible asignar valores arbitrarios a dos variables cualesquiera y despejar la tercera variable. En parricular, si a x2 y x3 se asignan los valores arbitrarios s y t, respectivamente, y se despeja x1, se obtiene

x1=5+ 4s - 7t, x2=s, x3=t

SISTEMAS LINEALES

Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables x1, x3, . . . ., xn se denomina sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal. Una sucesión de números s1, s2, . . ., sn se denomina solución del sistema si x1=s1, x2= s2, ... . sn=xn es una solución de todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo, el sistema

4x1 - x2 + 3x3= -1

3x1+ x2 + 9x3 = -4

tiene la solución x1=1, x2=2, x3= -1, ya que estos valores satisfacen ambas ecuaciones. Sin embargo, x1= 1, x2= 8, x3=1 no es una solución, ya que estos valores satisfacen sólo la primera de las dos ecuaciones del sistema.

No todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen solución. Por ejemplo, si la segunda ecuación del sistema siguiente

x + y= 4

2x + 2y=6

se multiplica por 1/2, resulta evidente que no existen soluciones, ya que el sistema equivalente obtenido

x + y = 4

x + y =3

esta compuesto por ecuaciones contradictorias.

Se dice que un sistema de ecuaciones que no tienen soluciones es inconsistente; si existe por lo menos una solución del sistema, éste se denomina consistente. Para ilustrar las posibilidades que pueden ocurrir al resolver sistemas de ecuaciones lineales, se considerará un sistema generall de dos ecuaciones lineales en las incognitas x y y.

a1x + b1y = c1 (a1, b1 no son ceto a la vez)

a2x + b2y = c2 (a2, b2 no son cera a la vez)

Las gráficas de estas ecuaciones son rectas; por ejemplo l1 y l2. Como punto (x,z) pertenece a una recta si y solo si los numeros x y y satisfacen la ecuación de la recta, las soluciones del sistema de ecuaciones corresponden a los puntos de intersección l1 yl2.

Todo sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones, tiene exactamente una solución o tiene una infinidad de soluciones.

Un sistema arbitrario de m ecuaciones lineales en n incógnitas se puede escribir como

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn= b1

a21x1 + a22x2 + . . . +a2nxn=b2

. . . .

am1x1 +am2x2+ . . . +amnxn=bm

donde x1, x2, . . . . , xn son las incognitas y las letras a y b son subindices denotan constantes. Por ejemplo, un sistema general de tres ecuaciones lienales con cuatro incognitas se puede escribir como

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4=b1

a21x1 + a22x2 + a23x3+ a24x4=b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 =b3

Los subíndicies dobles en los coeficientes de las incógnitas constituyen un mecanismo útil que se utiliza para especificar la ubicación del coeficiente en el sistema. El primer subíndice en el coeficiente aij indica la ecuación en qeu aparece el coeficiente, y el segundo subíndice indica a qué incógnita multiplica. Así, a12 está en la primera ecuación y multiplica a la incógnita x2.

BIBLIOGRAFIA

Introducción al Algebra lineal

Editorial: LimusaWiley

Autor:Howard Anton

Paginas: 21 - 24

ejercicios de numeros complejos

2008-09-01T17:44:00.000-07:00

TAREA 1

1) Efetuar las operaciones indicadas.

a) (3+10i) – (11+4i) = -8 +6i
b) (2+3i) (4+5i) = 8 + 10i + 12i +(-15) =-7 +21i
c) (2+5i) (2+5i)(3+4i) = 6 +8i+15i -20 = -14 +23i
(3-4i) = (3-4i)(3+4i) 9 – 4i e2 13 -4ie2
*la rayita de la divisón no se ve, pero en el ultimo incico el c, esta diviendo lo que esta abajo.

2) Obtener el conjugado de

a) 7 – 3i, 7 + 3i
b) -8i, =8i

3) Determinar la longitud del numero dado.
a) -3-4i
z=a +bi = (ae2+be2)e1/2 = ((-3)e2 + (-4)e2 )1/2= 5

c) 3i=
Z= a+ bi + (0e2 + 3e2)e1/2 = 3

4) Representar los números dados en un diagrama de Argano.

a) (-3 -4i)

b) 3i

5) Obtener las raíces de las ecuaciones dadas.

a) xe2 – 5x+7=0

x= -(-5) +- ((-5)e2 – 4(1)(7))e1/2) = 5 + -( 25 -28)e1/2 = 5 + - (-3)1/2
2(1) 2 2

X1= 5 –(3)e1/2 x2= 5+1.73 x2=3.36
2 2

c) xe2 +2x+1=0

x= -2 + - ((2)e2 – 4 (1)(1))e1/2 x= -2 +- (4-4)e1/2 x1= - 2 + - 0
2(1) 2 2

X1= -2 X2= -2

Numeros complejos (definicion)

2008-08-28T16:40:00.000-07:00

NUMERO COMPLEJO
Su origen y definición

Por definición un numero complejo es un par ordenado de números reales, denotado por (a,b) o a + bi.

e= exponente

Como xe2>= 0 para todo numero real x, la ecuación

Xe2= -1

No tiene soluciones reales. Para manejar este problema, los matemáticos del siglo XVIII introdujieron el número imaginario

I= e1/2(-1)

Que se supone tiene la propiedad

Te2 =(-1)e2/2 =1

Pero de otra forma podía considerarse como un número real. Expresiones de la forma

a + bi

donde a y b son números reales reciben el nombre de “números complejos”, los cuales se operan según las reglas normales de la aritmética, con la propiedad adicional de que ie2 =-1

A principios de siglo XIX se aceptaba que un número complejo

a + bi

se considera como otro símbolo para el par de ordenado

(a,b)

De números reales y que las operaciones de adición, sustración, multiplicación y división se definieran sobre pares ordenados de modo que se cumplieran las leyes conocidas de la aritmética y además ie2=-1.

Bibliografía:
Introducción a la algebra lineal
Howard Antón

Cristina Aceves Flores, 3er semestre, Ingeniería Química